Как написать теорему и её доказательство

Теоремы, леммы, определения, доказательства и остальное — это утверждения: блоки, которые печатают жирную метку в начале своей первой строки, как это делается в математическом тексте. Это руководство пишет одно утверждение от начала до конца, нумерует его, ссылается на него и разбирает случаи, которые встречаются в лекционном курсе: вид, которого нет в списке, утверждение внутри доказательства и задачу с подсказкой и решением.

Выбрать вид

Выбирайте вид по тому, чем блок является в рассуждении: theorem — для основного результата, lemma — для шага к нему, corollary — для того, что из него следует, а также definition, example, remark, conjecture и proof. В справочнике синтаксиса перечислены все виды и то, как они выглядят. Метка печатается на языке документа, поэтому вид всегда пишется по-английски: :::theorem в русской лекции печатается как Теорема.

Написать теорему с названием

Откройте блок тремя двоеточиями и видом, а название результата, если оно есть, поставьте в квадратные скобки: :::theorem[Лагранж].
На следующих строках напишите формулировку. Это обычный Markdown, с формулами, списками и выключными формулами.
Закройте блок строкой из трёх двоеточий.

Результат

Теорема (Лагранж). Если $H$ — подгруппа конечной группы $G$ , то $∣ H ∣$ делит $∣ G ∣$ .

Markdown

:::theorem[Лагранж]
Если $H$ — подгруппа конечной группы $G$, то $|H|$ делит $|G|$.
:::

Страница печатает жирным Теорема (Лагранж). и набирает формулировку курсивом. В скобках стоит название, а не номер: [Лагранж], а не [Теорема 3].

Добавить доказательство

Прямо под теоремой откройте блок :::proof, напишите доказательство и закройте блок.

Результат

Доказательство. Левые смежные классы по $H$ разбивают $G$ , и в каждом $∣ H ∣$ элементов, так что $∣ G ∣ = [G : H] ∣ H ∣$ .

Markdown

:::proof
Левые смежные классы по $H$ разбивают $G$, и в каждом $|H|$ элементов, так что
$|G| = [G : H]\,|H|$.
:::

Страница подписывает его Доказательство. и заканчивает знаком ∎, так что свой знак конца доказательства не ставьте. Чтобы напечатать другое слово, например Набросок доказательства или Dem. старого текста, задайте доказательству метку: :::proof{label="Набросок доказательства"}. Знак ∎ останется.

Пронумеровать результаты

Опубликованная страница пока не нумерует утверждения сама: теорема без номера подписывается Теорема. Если читатель должен иметь возможность сказать «по теореме 2.1», дайте каждому результату номер.

Выберите схему, например номер раздела и порядковый номер: 2.1, 2.2, 2.3.
Напишите номер на ограде как number=: :::theorem{number=2.1}.
Если у утверждения есть и название, оставьте его в скобках: :::theorem[Лагранж]{number=2.1}.

Результат

Определение 2.1. Индекс $[G : H]$ подгруппы $H$ — это число её левых смежных классов.

Теорема 2.2 (Лагранж). Если $H$ — подгруппа конечной группы $G$ , то $∣ G ∣ = [G : H] ∣ H ∣$ .

Markdown

:::definition{number=2.1}
*Индекс* $[G : H]$ подгруппы $H$ — это число её левых смежных классов.
:::
 
:::theorem[Лагранж]{number=2.2}
Если $H$ — подгруппа конечной группы $G$, то $|G| = [G : H]\,|H|$.
:::

Страница печатает Определение 2.1. и Теорема 2.2 (Лагранж). Номер, состоящий только из цифр и точек, можно поставить и в скобки, если названия нет: :::lemma[2.3] — это Лемма 2.3.

Номер не обязан состоять из цифр: number=IV.7, number=1b и number=A.3 печатаются как написаны. Номер, который начинается с символа, например ✱2·17 или §4, печатается один, без слова, — так, как его печатает книга.

Сослаться на результат

Задайте утверждению якорь на ограде вместе с номером: :::theorem[Лагранж]{#lagrange number=2.2}.
Сошлитесь на него, написав номер в тексте ссылки: [Теорема 2.2](#lagrange).

Результат

Теорема 2.2 (Лагранж). Если $H$ — подгруппа конечной группы $G$ , то $∣ H ∣$ делит $∣ G ∣$ .

По теореме 2.2 у группы простого порядка нет подгрупп, кроме неё самой и тривиальной.

Markdown

:::theorem[Лагранж]{#lagrange number=2.2}
Если $H$ — подгруппа конечной группы $G$, то $|H|$ делит $|G|$.
:::
 
По [теореме 2.2](#lagrange) у группы простого порядка нет подгрупп, кроме
неё самой и тривиальной.

Щелчок по ссылке переносит читателя к теореме. Выбирайте имя, которое говорит, что это за результат, например #lagrange, а не где он стоит, например #theorem-2-2: имя остаётся верным, когда номера меняются. Ссылки из другой работы, а также на иллюстрации и формулы описаны в руководстве Как цитировать работы и ссылаться на части текста.

Вид, которого нет в списке

Ни :::proposition, ни :::claim нет. Неизвестный или опечатанный вид показывается как набран, так что вы увидите его в просмотре. Нужное слово дают две формы:

Для результата, который должен выглядеть и вести себя как теорема, оставьте вид и смените слово: :::theorem{label="Предложение"}.
Для блока со своим словом и без вида за ним используйте :::statement[Утверждение]. Его текст набирается прямым шрифтом, не курсивом.

В обоих случаях слово печатается ровно так, как вы его написали, и не переводится, поэтому пишите его на языке документа.

Утверждение внутри доказательства

Утверждение может содержать другие блоки. Дайте внешней ограде больше двоеточий, чем внутренней:

Откройте доказательство четырьмя двоеточиями: ::::proof.
Напишите внутренний блок тремя: :::statement[Утверждение] … :::.
Закройте доказательство четырьмя двоеточиями.

Результат

Доказательство. Докажем индукцией по $n$ .

Утверждение. Для любого $k \leq n$ отображение $φ_{k}$ инъективно.

Утверждение при $k = n$ и есть теорема.

Markdown

::::proof
Докажем индукцией по $n$.
 
:::statement[Утверждение]
Для любого $k \le n$ отображение $\varphi_k$ инъективно.
:::
 
Утверждение при $k = n$ и есть теорема.
::::

Знак ∎ ставится в конце всего доказательства, после утверждения.

Задача с подсказкой и решением

В листке задач каждая задача — это :::problem, а её подсказка и решение находятся внутри неё. Оба блока свёрнуты, чтобы читатель мог попробовать решить задачу, прежде чем их открыть.

Откройте задачу четырьмя двоеточиями и её номером: ::::problem[1].
Напишите условие, затем :::hint и :::solution по три двоеточия.
Закройте задачу четырьмя двоеточиями.

Результат

Задача 1. Докажите, что $2$ иррационально.

Подсказка.

Пусть $2 = p / q$ — несократимая дробь; посмотрите на чётность $p$ .

Решение.

Из $p^{2} = 2 q^{2}$ следует, что $p$ чётно, $p = 2 r$ . Тогда $q^{2} = 2 r^{2}$ , и $q$ тоже чётно, что противоречит несократимости.

Markdown

::::problem[1]
Докажите, что $\sqrt{2}$ иррационально.
 
:::hint
Пусть $\sqrt{2} = p/q$ — несократимая дробь; посмотрите на чётность $p$.
:::
 
:::solution
Из $p^2 = 2q^2$ следует, что $p$ чётно, $p = 2r$. Тогда $q^2 = 2r^2$, и $q$
тоже чётно, что противоречит несократимости.
:::
::::

У задачи, перенесённой из старого листка, на ограде может стоять якорь вроде {#p-412}. Не удаляйте его: через него приходят старые ссылки на эту задачу.

Результат

В просмотре каждое утверждение начинается с жирной метки и номера и названия, которые вы задали; у теорем, лемм и следствий текст курсивом, у определений, примеров и замечаний — прямым шрифтом; каждое доказательство заканчивается знаком ∎; ссылка на утверждение переносит к нему; подсказка и решение задачи закрыты, пока по ним не щёлкнуть. Если вместо этого строка ::: видна как текст, вид написан с ошибкой или не совпадают двоеточия; см. Решение проблем с Markdown.