Напишите свой первый конспект лекции

Примерно за десять минут вы напишете конспект лекции на одну страницу о теореме Лагранжа о среднем значении: два раздела, формулы в тексте и на отдельных строках, теорема с доказательством, рисунок с подписью и источник, до которого читатель может дойти. Конспект сохраняется как черновик, который видите только вы, так что ничего не станет публичным, пока вы сами этого не решите.

Вам понадобятся аккаунт и изображение для рисунка: подойдёт PNG, JPG или SVG с графиком.

Начните черновик

Откройте /new (туда ведёт Новая публикация на главной) и выберите Написать.
Выберите язык русский и тип Лекция, затем нажмите Начать написание. Язык определяет, как печатаются метки: в русском конспекте теорема помечается словом Теорема, в английском — Theorem.
В поле Заголовок введите Теорема Лагранжа о среднем. Заголовок — это заголовок страницы, поэтому текст ниже его не повторяет.
Щёлкните по тексту, чтобы открыть редактор, и вверху выберите Код. Режим «Код» показывает Markdown ровно так, как вы его набираете. Режим Визуально показывает тот же текст отформатированным, и переключаться между ними можно в любой момент.

Черновик сохраняется по ходу работы.

Напишите разделы

Наберите два заголовка разделов — каждый строкой, начинающейся с ## и пробела:
```
## Формулировка
 
## Зачем это нужно
```

Разделы начинаются с ##, потому что верхний уровень уже занят заголовком. Каждый заголовок становится пунктом оглавления страницы, и на него можно дать ссылку.

Сформулируйте теорему

Под разделом Формулировка откройте блок теоремы строкой :::theorem[о среднем значении], напишите формулировку и закройте блок строкой ::::

:::theorem[о среднем значении]
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$. Тогда
найдётся точка $c \in (a, b)$, для которой
 
$$
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.
$$
:::

Слова в квадратных скобках — название теоремы, оно печатается после метки. Формулировка набирается курсивом, как в печатном тексте.

Формулы пишутся на LaTeX. Формула внутри предложения ставится между одиночными знаками доллара, $f$ . Формула на отдельной строке ставится между строками $$, и оба $$ должны стоять на своих строках: записанная как $$…$$ внутри одной строки, формула остаётся в строке.

Докажите её

Сразу под теоремой добавьте блок доказательства:

:::proof
Функция $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ удовлетворяет
$g(a) = g(b) = f(a)$, поэтому по теореме Ролля $g'(c) = 0$ для некоторого
$c \in (a, b)$, что и требовалось.
:::

Страница помечает его словом Доказательство. и завершает знаком ∎, так что свой знак конца доказательства ставить не нужно.

Добавьте рисунок

Под разделом Зачем это нужно напишите предложение, которое ссылается на рисунок:

У секущей через концы графика есть параллельная ей касательная, как
показывает [рисунок](#fig-mean-value).

Переключитесь в режим Визуально, поставьте курсор на пустую строку под этим предложением и нажмите Медиа. На вкладке Загрузка перетащите изображение, опишите его в поле Альтернативный текст (что изображено — для читателя, который его не видит) и нажмите Загрузить и вставить.
Вернитесь в режим Код. Изображение теперь — строка вида ![альтернативный текст](адрес). Поставьте над ней строку ::::figure{#fig-mean-value}, под ней — подпись, а под подписью — строку :::::
```
::::figure{#fig-mean-value}
![График с секущей через его концы и параллельной ей касательной в точке c](https://…)
 
Касательная в точке $c$ параллельна секущей через
$(a, f(a))$ и $(b, f(b))$.
::::
```

Первый блок внутри рисунка — его содержимое, всё после него — подпись. У рисунка четыре двоеточия, а не три, потому что рисунок может содержать другой блок. {#fig-mean-value} — якорь рисунка: на него переходит ссылка из вашего предложения.

Сошлитесь на источник

В конце первого предложения теоремы или там, где вы опираетесь на источник, поставьте метку сноски [^rudin].

Где угодно ниже, на отдельной строке, напишите саму сноску:

[^rudin]: W. Rudin, *Principles of Mathematical Analysis*, 3rd ed.,
    McGraw-Hill, 1976, Theorem 5.10.

Закройте редактор, откройте вкладку Ссылки и нажмите Добавить ссылку. В разделе Добавить новую заполните название, автора и год и нажмите Сохранить.

Сноска нумеруется на странице и собирается внизу со ссылкой обратно. Источник появляется в списке под конспектом, откуда читатель может скопировать его в BibTeX или сохранить в свою библиотеку. Форма ссылки [@key] зарезервирована для ссылок, разрешаемых по списку источников, а этого страница пока не делает: сегодня она показывает такой текст как набран. См. Ссылки на источники и перекрёстные ссылки.

Проверьте результат

Снова откройте редактор и выберите Просмотр. Вы должны увидеть теорему с полужирной меткой Теорема (о среднем значении). и формулировкой курсивом, формулу по центру на отдельной строке, доказательство со знаком ∎ в конце, рисунок с подписью и маленький номер, ведущий к сноске внизу.
Если формула показана красным, KaTeX не смог её прочитать. Если строка ::: видна как текст, в названии блока опечатка. Оба случая разобраны в Решении проблем с Markdown.
Закройте редактор. Ваш конспект числится в Черновиках на странице Мои работы, и никто, кроме вас, его не видит.

Конспект целиком

Ниже — весь исходный текст и то, как он отображается. Адрес вашего изображения ставится на место адреса из примера.

Результат

Формулировка

Теорема (о среднем значении). Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ .¹ Тогда найдётся точка $c \in (a, b)$ , для которой

f^{'} (c) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} .

Доказательство. Функция $g (x) = f (x) - \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} (x - a)$ удовлетворяет $g (a) = g (b) = f (a)$ , поэтому по теореме Ролля $g^{'} (c) = 0$ для некоторого $c \in (a, b)$ , что и требовалось.

Зачем это нужно

У секущей через концы графика есть параллельная ей касательная, как показывает рисунок.

График с секущей через его концы и параллельной ей касательной в точке c — Касательная в точке $c$ параллельна секущей через $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Markdown

## Формулировка
 
:::theorem[о среднем значении]
Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$.[^rudin]
Тогда найдётся точка $c \in (a, b)$, для которой
 
$$
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.
$$
:::
 
:::proof
Функция $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ удовлетворяет
$g(a) = g(b) = f(a)$, поэтому по теореме Ролля $g'(c) = 0$ для некоторого
$c \in (a, b)$, что и требовалось.
:::
 
## Зачем это нужно
 
У секущей через концы графика есть параллельная ей касательная, как
показывает [рисунок](#fig-mean-value).
 
::::figure{#fig-mean-value}
![График с секущей через его концы и параллельной ей касательной в точке c](/examples/mean-value.svg)
 
Касательная в точке $c$ параллельна секущей через
$(a, f(a))$ и $(b, f(b))$.
::::
 
[^rudin]: W. Rudin, *Principles of Mathematical Analysis*, 3rd ed.,
    McGraw-Hill, 1976, Theorem 5.10.

Когда конспект готов, кнопка Создать публикацию под формой публикует его с той видимостью, которую вы выберете рядом с кнопкой. Сначала добавьте категории и теги: по ним вас находят читатели, которые вас не знают. См. Публикации.

Footnotes

W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976, Theorem 5.10. ↩